수학2 주제탐구보고서-치올콥스키 방정식을 활용한 로켓 발사의 원리 탐구

치올콥스키 방정식을 활용한 로켓 발사의 원리 탐사

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1. 탐구동기

 누리호 발사에 대한 기사를 보고 로켓이 어떻게 발사될까에 대해 궁금증을 가졌었다. 시간에 대한 속도의 변화율 중 하나의 예시가 로켓이라는 것을 깨닫고 로켓의 움직임이 어떻게 서술되는지에 대해 탐구하고자 하였다. 

 

2. 연구방향

 로켓방정식에 대해 간략히 찾아보니 로켓 방정식으로부터 유도되는 의미로부터 로켓의 모양을 설계할 수 있다고 한다. 이에 로켓이 어떻게 발사될 수 있는지에 대한 로켓 방정식을 유도 해보고 이 식으로부터 도출된 의미를 살펴보고 이 의미가 로켓의 모양에 있어 어떠한 모양을 가져야하는지에 대해 살펴보고자 한다. 

 

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1. 우리나라의 로켓 :  누리호

 지난 2021년 21일에 누리호가 발사되었따. 발사된 누리호는 항공우주 연구원이 11년 7개월간의 개발 과정을 거쳐 1.5 t급 실용위성을 지구 저궤도(600∼800km)에 투입하기 위해 제작하였다. 누리호는 엔진, 발사체, 발사 설비 및 시스템까지 모두 국내의 기술로 개발되어 더욱 더 의미가 크다. 또한 발사에 성공하여 1t 이상의 중대형 발사체를 자국 기술로 발사한 7번째 국가가 되기도 하였다. 그렇다면 이러한 누리호와 같은 로켓은 어떠한 원리로 발사되는 것일까?

 

2. 로켓의 발사

너무나도 당연히 실제 로켓 발사원리를 고려하기엔 따져봐야 할 변수가 너무나도 많고, 로켓이 돌아야 할 궤도나 각도 등을 계산하여 조정하는 데엔 첨단과학 기술이 사용되어야 하기 때문에 정확하게 구하는 것은 불가능하다. 하지만 1904년 러시아의 치올콥스키에 의해 알려진 “로켓방정식”을 이용하면 로켓이 어떻게 발사되는지에 대한 가장 기초적인 원리를 알아낼 수 있다. 치올콥스키는 단순히 로켓 방정식을 유도했을 뿐만 아니라 이 방정식을 이용하여 실제로 로켓이 어떻게 디자인 되어야하는지에 대해 방법론을 제시하기도 하였다

 

3. 치올콥스키의 로켓 방정식

이 바로 로켓방정식이다.  이 식은 중력이나 공기저항 등의 외렭이 없는 상황에서 일정한 속도로 연료를 분사하는 로켓의 속도를 묘사하는 방정식이다. 실제 로켓이 발사되는 상황과는 약간의 괴리감이 있지만 '어떻게 발사되는가?'에 대한 답을 뽑아내기 위해서는 고려할 수 있는 가장 단순한 상황이라고 볼 수 있다. 그렇다면 이 방정식이 어떻게 유도되었는지 살펴보도록하자. 이해를 돕기 위해 상황마다 번호를 표기하도록하겠다. 

 

으로 표현되고 마지막 식을 제 2로켓방정식이라고한다. 

 

 결국 식의 의미를 해석해보자면 질량이 변화할 때 속도가 어떻게 변화하는가에 대해 서술하는 식이라고 볼 수 있다. 또한 최종 질량이 가벼울수록 최종 속도가 빠르다는 것을 통해 로켓 모형이 어떻게 되어야하는지에 대해서 생각해볼 수 있다. 

 

4. 로켓방정식을 기반으로 한 로켓 설계

 질량이 가벼워야지 최종 속도가 빨라진다는 이론을 기반으로 다단계 로켓 설계가 있다. 로켓이 위로 올라감에 따라 로켓의 일부를 버리는 것이다. 보통 3단계로 구성이 되는데, 누리호같은 경우 1단계는 75톤짜리 엔진 4개, 2단계는 75톤짜리 엔진 1개, 3단계는 7톤짜리 엔진 1개로 구성되었다고 한다. 로켓이 발사되는 과정에서 연료를 모두 사용하면 질량을 줄이기 위하여 엔진을 분리하는 것이다. 로켓의 속도가 질량과 밀접한 관계가 있으므로 엔진의 분리가 로켓 발사의 성패에 매우 중요한 부분을 차지하고 있기도 한다. 아래의 그림과 같은 모습니다. 

 

5. 느낀 점

 비록 로켓 방정식이 로켓의 실제 움직임에 적용하지못할 지라도 로켓이 어떻게 발사되는지에 대한 근본적인 이해에 있어서는 중요한 의의를 가진다고 생각하낟. 이러한 기초적인 토대가 있어야지 기초과학과 공학이 끊임없이 소통해 나가 그 다음 단계로 나아갈 수 있기 때문이다. 또한 유도하는 과정에서 '운동량 보존 법칙'에 의해 기본적인 이해를 하고 증명에 대한 기본적인 이해를 얻을 수 있었다. 이후에는 '시간에 대한 ~~의 변화율'을 구하기 위해서 미분을 한다와 같이 수2의 개념을 떠올리며 자연스럽게 증명을 해나갈 수 있었다. 이후 마지막 부분의 미분방정식을 푸는 데에 있어 어려움이 있었지만 식을 간단히 정리하기 위하여 같은 구간을 설정해 적분을 한다는 원리를 통해 식을 쉽게 정리 할 수 있었다. 또한 중간에 분수의 적분과정이 있었는데 이는 기존에 배웠던 미분계수의 정의를 통해 유도해 낼 수 있었다. 

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요약  ver. 

교과시간에 배운 시간에 대한 속도의 변화율 중 하나의 예시가 로켓이라는 것을 깨닫고 로켓의 움직임이 어떻게 서술되는지에 대해 탐구하고자 하였다.

로켓방정식을 유도하는 과정에서 ‘시간에 대한 속도와 질량의 변화율’을 구하기 위해서 미분한다는 것, 식을 간단하게 정리하기 위해 적분한다는 것을 통해 자연스럽게 식을 도출 해낼 수 있었다.

또한 이과정에서 나온 분수의 미분법은 기존에 배웠던 미분계수의 정의를 활용하여 이끌어 낼 수 있었다.

도출된 식에서 최종질량이 작을수록 최종 속도가 크다는 의미를 이용하여 로켓의 모양을 디자인 할 수 있었다. -질량을 줄이기 위해 로켓이 올라가면서 연료통을 버림.

 

제안 

물리에서 움직임을 표현하는 방법은 모두 수학이라는 기초 언어에 의존한다. 일반적으로 시간에 따라 운동이 어떻게 변하는지 서술해야하기 때문에 미분과 적분이 빠질 수 없는 것이다. 이에 추후 기회가 된다면 수학으로 물리를 표현해야하는 다른 부분에서도 그과정을 유도하고 원리를 이해하여 탐구해보고 싶다.