물리학2 주제탐구보고서- 케플러 법칙 증명

목차

케플러법칙이란 무엇인가?

케플러 제 1법칙 : 타원 궤도의 법칙

케플러 제 2법칙 : 면적 속도 일정의 법칙

케플러 제 3법칙 : 조화의 법칙

 

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케플러 제 1법칙을 증명하기 전에, 케플러 법칙이 무엇인지 알고가도록하자. 

 

 

케플러법칙이란?

요하네스 케플러가 티코 브라헤의 자료를 분석한 후 발표한 행성의 공전에 대한 법칙이다. 케플러 제 1법칙부터 3법칙까지 총 3가지 법칙으로 구성된다. 처음 케플러가 이 법칙을 발표할 때는 관측에 기반한 경험적인 법칙으로서 이를 발표하였는데, 한 세대 뒤에 뉴턴이 고전역학의 힘을 기반으로 하나씩 수학적으로 증명하였다. 

 

 

 

케플러 제 1법칙: 타원궤도의 법칙

 

행성은 타원을 궤도로 공전한다. 이때 타원의 두 초점 중 한 곳에 항성이 위치한다. 

(타원에 대하여 공부하지 않았다면, 기하 파트의 타원에 대해서 보고오는 것을 추천한다.)

 

케플러의 제 1법칙을 도식화한다면 기하학에서 나오는 타원의 모양과 일치한다. 

 

두 초점이 일치하지 않는 한, 항성은 궤도의 중앙이 아닌 한쪽으로 치우친 점에 위치하기 때문에 상대적으로 항성과 가까운 점과 먼 점이 생긴다. 항성과 가까운 점과 먼 점이 생긴다. 항성과 가장 가까운 점을 근일점(Perihelion), 가장 먼 점을 원일점(Aphelion)이라 한다. 지구의 경우, 1월에 근일점, 7월에 원일점에 도달한다. 

 

 

출처 나무위키

우리의 태양계로 예를 들어보자면 다음과 같다. 

항성은 태양이며, 공전하는 대상은 지구인것이다. 

'태양은 타원의 두 초점 중 한 군데 위치하며 그 주위를 타원 궤도에 따라서 지구가 공전한다는 것'이 케플러 제 1법칙의 예시라고 볼 수 있다. 

 

 

 

 

케플러 제 2법칙: 면적 속도 일정의 법칙

항성과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 휩쓸고 지나가는 면적은 일정하다.

 

타원을 공전하는 행성은 위치별로 공전속도가 다르다. 태양에 가까울수록 (근일점) 행성의 속도가 빠르고 태양에서 멀수록(원일점) 행성의 속도가 느리다.

이로부터  행성은 완전한 원궤도가 아니라 타원궤도라고 결론을 내렸다고도 볼 수 있다. 

이렇게 유도되는 결론은 다음과 같다. 

1. 행성은 태양에 항상 같은 거리에 있는 것은 아니다.

2. 타원의 궤도 위치에 따라서 행성의 공전 속도가 다르다. 

3. 이로부터 공전궤도를 휩쓸고 지나가는 면적은 같다.

출처 나무위키

 

 

 

케플러 제 3법칙: 조화의 법칙

행성의 공전 주기의 제곱은 그 행성의 타원 궤도 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.

이 법칙은 말 그대로 이다. 공전주기에 제곱을 하면 행성의 타원 궤도 긴 반지름의 세제곱과 비례한다. 

 

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그럼 케플러의 타원법칙을 증명해보도록하자. 

 

케플러의 타원법칙은 태양계 행성의 궤도가 타원이라는 것을 말한다. 타원은 원뿔 곡선 중 하나로, 원뿔과 평면이 만나면 생기는 곡선이다. 원뿔 곡선에는 타원 외에도 원, 포물선, 쌍곡선이 있다.

 

여기서 a는 장반경, e는 이심률, p는 준수관거리라고 합니다. 이심률은 타원중심에서 초점까지 거리를 장반경길이의 1/2로 나눈 값이다. 이심률은 원뿔 곡선의 모양을 결정한다.

 

 

 

e = 0: 원

0 < e < 1: 타원

e = 1: 포물선

e > 1: 쌍곡선

타원의 극좌표 방정식을 유도하는 방법은 다음과 같다.

 

 

 

1. 타원의 정의에 따라, 임의의 점 P에서 초점 F1과 F2까지 거리의 합은 장축길이와 같습니다.

 

2. PF1​+PF2​=2a

 

3.PF1과 PF2를 코사인법칙을 이용하여 표현하면 다음과 같다.

 

 

6. 여기서 C는 초점거리로, c=ae 이다.

 

7. 두 식을 더하면 다음과 같다. 

 

 

9. 이 식을 장축길이와 같다고 놓고 정리하면 다음과 같다. 

 이것이 타원의 극좌표 방정식이다. 

 

또한 세타의 값에 따라 근일점, 반직현, 원일점을 구분 할 수 있다. 

 

근일점: 태양에 가장 가까운 점으로, 세타=0일때이다. 이때 r의 최솟값은 다음과 같다.

반직현: 태양과 타원중심을 잇는 직선과 타원이 만나는 점으로, 세타는 =(+/-)파이/2일때이다.이때 r값은 다음과 같다.

 

원일점: 태양에 가장 먼 점으로, 세타=(+/-)파이와 같다. 이때 r의 최댓값은 다음과 같다.